혼자 공부하는 머신러닝+딥러닝(ch6-3 주성분 분석)

06-3 주성분 분석¶

- 차원과 차원 축소¶

지금까지 우리는 데이터가 가진 속성을 특성이라 불렀다. 앞서 과일 사진의 경우 10000개의 픽셀이 있기 때문에 10000개의 특성이 있는 것이다. 머신러닝에서는 이런 특성을 차원이라고 부른다. 10000개의 특성은 결국 10000개의 차원이라는 것인데 이 차원을 줄일 수 있다면 저장 공간을 크게 절약할 수 있다.

이를 위해 비지도 학습 작업 중 하나인 차원 축소 알고리즘을 다뤄보자. 차원 축소는 데이터를 가장 잘 나타내는 일부 특성을 선택하여 데이터 크기를 줄이고 지도 학습 모델의 성능을 향상시킬 수 있는 방법이다.

또한 줄어든 차원에서 다시 원본 차원으로 손실을 최대한 줄이면서 복원할 수도 있다. 이번엔 대표적인 차원 축소 알고리즘인 주성분 분석을 배우자. 주성분 분석은 간단히 PCA라고 부른다.

- 주성분 분석 소개¶

주성분 분석은 데이터에 있는 분산이 큰 방향을 찾는 것으로 이해할 수 있다. 분산은 데이터가 널리 퍼져있는 정도를 말한다. 분산이 큰 방향을 데이터로 잘 표현하는 벡터로 생각할 수 있다. 주성분 벡터는 원본 데이터에 있는 어떤 방향이다. 따라서 주성분 벡터의 원소 개수는 원본 데이터셋에 있는 특성 개수와 같다. 하지만 원본 데이터는 주성분을 사용해 차원을 줄일 수 있다. 주성분은 원본 차원과 같고 주성분으로 바꾼 데이터는 차원이 줄어든다는 점을 기억하자.

주성분이 가장 분산이 큰 방향이기 때문에 투영하여 바꾼 데이터는 원본이 가지고 있는 특성을 가장 잘 나타내고 있을 것이다.

- PCA 클래스¶

앞서 사용했던 과일 사진 데이터를 다운로드 하여 넘파이 배열로 적재하자.

In [1]:

!wget https://bit.ly/fruits_300_data -O fruits_300.npy

--2021-05-07 16:49:58--  https://bit.ly/fruits_300_data
Resolving bit.ly (bit.ly)... 67.199.248.11, 67.199.248.10
Connecting to bit.ly (bit.ly)|67.199.248.11|:443... connected.
HTTP request sent, awaiting response... 301 Moved Permanently
Location: https://github.com/rickiepark/hg-mldl/raw/master/fruits_300.npy [following]
--2021-05-07 16:49:59--  https://github.com/rickiepark/hg-mldl/raw/master/fruits_300.npy
Resolving github.com (github.com)... 15.164.81.167
Connecting to github.com (github.com)|15.164.81.167|:443... connected.
HTTP request sent, awaiting response... 302 Found
Location: https://raw.githubusercontent.com/rickiepark/hg-mldl/master/fruits_300.npy [following]
--2021-05-07 16:50:00--  https://raw.githubusercontent.com/rickiepark/hg-mldl/master/fruits_300.npy
Resolving raw.githubusercontent.com (raw.githubusercontent.com)... 185.199.109.133, 185.199.111.133, 185.199.108.133, ...
Connecting to raw.githubusercontent.com (raw.githubusercontent.com)|185.199.109.133|:443... connected.
HTTP request sent, awaiting response... 200 OK
Length: 3000128 (2.9M) [application/octet-stream]
Saving to: ‘fruits_300.npy’

fruits_300.npy      100%[===================>]   2.86M  3.38MB/s    in 0.8s    

2021-05-07 16:50:02 (3.38 MB/s) - ‘fruits_300.npy’ saved [3000128/3000128]

In [2]:

import numpy as np
fruits = np.load('fruits_300.npy')
fruits_2d = fruits.reshape(-1, 100 * 100)

사이킷런은 sklearn.demoposition 모듈 아래 PCA 클래스로 주성분 분석 알고리즘을 제공한다. PCA 클래스의 객체를 만들 때 n_components 매개변수에 주성분의 개수를 지정해야 한다. k-평균과 마찬가지로 비지도 학습이기 때문에 fit() 메서드에 타깃값을 제공하지 않는다.

In [3]:

from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=50)
pca.fit(fruits_2d)

Out[3]:

PCA(n_components=50)

PCA 클래스가 찾은 주성분은 components_ 속성에 저장되어 있다. 이 배열의 크기를 확인해 보자.

In [4]:

print(pca.components_.shape)

(50, 10000)

n_components를 50으로 지정했기 때문에 pca.components 배열의 첫 번째 차원이 50이다. 즉 50개의 주성분을 찾은 것이다. 두 번째 차원은 항상 원본 데이터의 특성 개수와 같은 10000 이다. 원본 데이터와 차원이 같으므로 주성분을 100x100 크기의 이미지처럼 출력해 볼 수 있다.

In [7]:

import matplotlib.pyplot as plt

def draw_fruits(arr, ratio=1):
    n = len(arr)    # n은 샘플 개수이다.
    # 한 줄에 10개씩 이미지를 그린다. 샘플 개수를 10으로 나누어 전체 행 개수를 계산한다. 
    rows = int(np.ceil(n/10))
    # 행이 1개 이면 열 개수는 샘플 개수입니다. 그렇지 않으면 10개이다.
    cols = n if rows < 2 else 10
    fig, axs = plt.subplots(rows, cols, 
                            figsize=(cols*ratio, rows*ratio), squeeze=False)
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if i*10 + j < n:    # n 개까지만 그린다.
                axs[i, j].imshow(arr[i*10 + j], cmap='gray_r')
            axs[i, j].axis('off')
    plt.show()

In [8]:

draw_fruits(pca.components_.reshape(-1, 100, 100))

이 주성분은 원본 데이터에서 가장 분산이 큰 방향을 순서대로 나타낸 것이다. 한편으로는 데이터셋에 있는 어떤 특징을 잡아낸 것처럼 생각할 수도 있다. 주성분을 찾았으므로 원본 데이터를 주성분에 투영하여 특성의 개수를 10000개에서 50개로 줄일 수 있다. PCA의 trasnform() 메서드를 사용해 원본 데이터의 차원을 50으로 줄여보자.

In [9]:

print(fruits_2d.shape)

(300, 10000)

In [10]:

fruits_pca = pca.transform(fruits_2d)
print(fruits_pca.shape)

(300, 50)

fruits_2d는 (300,10000) 크기의 배열이었다. 50개의 주성분으로 찾은 PCA 모델을 사용해 이를 (300,50) 크기의 배열로 변환했다. 이제 fruits_pca의 배열은 50개의 특성을 가진 데이터이다.

- 원본 데이터 재구성¶

앞서 10000개의 특성을 50개로 줄였다. 이로 인해 어느 정도 손실이 발생할 수 밖에 없다. 하지만 최대한 분산이 큰 방향으로 데이터를 투영했기 때문에 원본 데이터를 상당 부분 재구성할 수도 있다. PCA 클래스는 이를 위해 inverse_transform() 메서드를 제공한다. 앞서 50개의 차원으로 축소한 fruits_pca 데이터를 전달해 10000개의 특성을 복원하자.

In [12]:

fruits_inverse = pca.inverse_transform(fruits_pca)
print(fruits_inverse.shape)

(300, 10000)

예상대로 10000개의 특성이 복원되었다. 이 데이터를 100x100 크기로 바꾸어 100개씩 나누어 출력해보자.

In [13]:

fruits_reconstruct = fruits_inverse.reshape(-1,100,100)
for start in [0,100,200]:
    draw_fruits(fruits_reconstruct[start:start+100])
    print("\n")

모든 과일이 잘 복원 되었다. 일부 흐리고 번진 부분이 있지만 불과 50개의 특성을 10000개로 늘린 것을 감안하면 대단한 결과이다. 이 50개의 특성이 분산을 가장 잘 보존하도록 변환된 것이기 때문이다.

만약 주성분을 최대로 사용했다면 완벽하게 원본 데이터를 재구성할 수 있을 것이다.

- 설명된 분산¶

주성분이 원본 데이터의 분산을 얼마나 잘 나타내는지 기록한 값을 설명된 분산이라고 한다. PCA 클래스의 explained_variance_ratio_에 각 주성분의 설명된 분산 비율이 기록되어 있다. 당연히 첫 번째 주성분의 설명된 분산이 가장 크다. 이 분산 비율을 모두 더하면 50개의 주성분으로 표현하고 있는 총 분산 비율을 얻을 수 있다.

In [14]:

print(np.sum(pca.explained_variance_ratio_))

0.9215055650540526

92프로가 넘는 분산을 유지하고 있다. 앞에서 50개의 특성에서 원본 데이터를 복원했을 때 원본 이미지의 품질이 높았던 이유를 여기서 찾을 수 있다. 설명된 분산의 비율을 그래프로 그려보면 적절한 주성분의 개수를 찾는 데 도움이 된다.

In [15]:

plt.plot(pca.explained_variance_ratio_)
plt.show()

그래프를 보면 처음 10개의 주성분이 대부분의 분산을 표현하고 있다. 그다음부터는 각 주성분이 설명하고 있는 분산은 비교적 작다.

- 다른 알고리즘과 함께 사용하기¶

앞서 과일 사진 원본 데이터와 PCA로 축소한 데이터를 지도 학습에 적용해 보고 어떤 차이가 있는지 알아보자. 3개의 과일 사진을 분류해야 하므로 간단히 로지스틱 회귀 모델을 사용해보자.

In [16]:

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

lr = LogisticRegression()

지도 학습 모델을 사용하려면 타깃값이 있어야 한다. 여기에서는 사과를 0, 파인애플을 1, 바나나를 2로 지정하자. 파이썬 리스트와 정수를 곱하면 리스트 안의 원소를 정수만큼 반복한다.

In [17]:

target = np.array([0]*100 + [1]*100 + [2]*100)

먼저 원본 데이터인 fruits_2d를 사용해 보자. 로지스틱 회귀 모델에서 성능을 가늠해 보기 위해 cross_validate()로 교차 검증을 수행하자.

In [18]:

from sklearn.model_selection import cross_validate
scores = cross_validate(lr, fruits_2d, target)
print(np.mean(scores['test_score']))
print(np.mean(scores['fit_time']))

0.9966666666666667
0.9893776893615722

교차 검증의 점수는 0.977 로 매우 높다. 특성이 10000개나 되기 때문에 300개의 샘플에서는 금방 과대적합된 모델을 만들기 쉽다. cross_validate() 함수가 반환하는 딕셔너리에는 fit_time 항목에 각 교차 검증 폴드의 훈련 시간이 기록되어있다. 0.94초가 걸렸다. 이 값을 PCA로 축소한 fruits_pca를 사용했을 때와 비교하자.

In [19]:

scores = cross_validate(lr, fruits_pca, target)
print(np.mean(scores['test_score']))
print(np.mean(scores['fit_time']))

1.0
0.045273351669311526

50개의 특성만 사용했는데 정확도가 100%이고 훈련 시간은 0.04초로 20배 이상 감소했다. PCA로 훈련 데이터의 차원을 축소하면 저장 공간뿐만 아니라 머신러닝 모델의 훈련 속도도 높일 수 있다.

앞서 PCA 클래스를 사용할 때 n_components 매개변수에 주성분의 개수를 지정했다. 이 대신 원하는 설명된 분산의 비율을 입력할 수도 있다. PCA 클래스는 지정된 비율에 도달할 때까지 자동으로 주성분을 찾는다. 설명된 분산의 50%에 달하는 주성분을 찾도록 PCA 모델을 만들어 보자.

In [20]:

pca = PCA(n_components = 0.5)
pca.fit(fruits_2d)

Out[20]:

PCA(n_components=0.5)

몇 개의 주성분을 찾았는지 확인해보자.

In [21]:

print(pca.n_components_)

2

단 2개의 특성 만으로 분산의 50% 를 표현할 수 있다.

이 모델로 원본 데이터를 변환해보자. 주성분이 2개이므로 변환된 데이터의 크기는 (300,2)가 될 것이다.

In [22]:

fruits_pca = pca.transform(fruits_2d)
print(fruits_pca.shape)

(300, 2)

2개의 특성으로 교차 검증도 해보자.

In [23]:

scores = cross_validate(lr, fruits_pca, target)
print(np.mean(scores['test_score']))
print(np.mean(scores['fit_time']))

/home/jaeyoon89/.local/lib/python3.6/site-packages/sklearn/linear_model/_logistic.py:765: ConvergenceWarning: lbfgs failed to converge (status=1):
STOP: TOTAL NO. of ITERATIONS REACHED LIMIT.

Increase the number of iterations (max_iter) or scale the data as shown in:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/preprocessing.html
Please also refer to the documentation for alternative solver options:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/linear_model.html#logistic-regression
  extra_warning_msg=_LOGISTIC_SOLVER_CONVERGENCE_MSG)
/home/jaeyoon89/.local/lib/python3.6/site-packages/sklearn/linear_model/_logistic.py:765: ConvergenceWarning: lbfgs failed to converge (status=1):
STOP: TOTAL NO. of ITERATIONS REACHED LIMIT.

Increase the number of iterations (max_iter) or scale the data as shown in:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/preprocessing.html
Please also refer to the documentation for alternative solver options:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/linear_model.html#logistic-regression
  extra_warning_msg=_LOGISTIC_SOLVER_CONVERGENCE_MSG)
/home/jaeyoon89/.local/lib/python3.6/site-packages/sklearn/linear_model/_logistic.py:765: ConvergenceWarning: lbfgs failed to converge (status=1):
STOP: TOTAL NO. of ITERATIONS REACHED LIMIT.

Increase the number of iterations (max_iter) or scale the data as shown in:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/preprocessing.html
Please also refer to the documentation for alternative solver options:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/linear_model.html#logistic-regression
  extra_warning_msg=_LOGISTIC_SOLVER_CONVERGENCE_MSG)
/home/jaeyoon89/.local/lib/python3.6/site-packages/sklearn/linear_model/_logistic.py:765: ConvergenceWarning: lbfgs failed to converge (status=1):
STOP: TOTAL NO. of ITERATIONS REACHED LIMIT.

Increase the number of iterations (max_iter) or scale the data as shown in:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/preprocessing.html
Please also refer to the documentation for alternative solver options:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/linear_model.html#logistic-regression
  extra_warning_msg=_LOGISTIC_SOLVER_CONVERGENCE_MSG)

0.99
0.07439789772033692

/home/jaeyoon89/.local/lib/python3.6/site-packages/sklearn/linear_model/_logistic.py:765: ConvergenceWarning: lbfgs failed to converge (status=1):
STOP: TOTAL NO. of ITERATIONS REACHED LIMIT.

Increase the number of iterations (max_iter) or scale the data as shown in:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/preprocessing.html
Please also refer to the documentation for alternative solver options:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/linear_model.html#logistic-regression
  extra_warning_msg=_LOGISTIC_SOLVER_CONVERGENCE_MSG)

99%의 정확도를 달성했다. 이번에는 차원 축소된 데이터를 사용해 k-평균 알고리즘으로 클러스터를 찾아보자.

In [24]:

from sklearn.cluster import KMeans
km = KMeans(n_clusters=3, random_state=42)
km.fit(fruits_pca)
print(np.unique(km.labels_, return_counts=True))

(array([0, 1, 2], dtype=int32), array([110,  99,  91]))

fruits_pca로 찾은 클러스터는 각각 110개, 99개, 91개의 샘플을 포함하고 있다. 이는 앞에서 원본 데이터를 사용했을 때와 거의 비슷한 결과이다. 이미지로 출력해보자.

In [25]:

for label in range(0,3):
    draw_fruits(fruits[km.labels_ == label])
    print("\n")

앞서 찾은 클러스터와 비슷하게 파인애플은 사과와 조금 혼돈되는 면이 있다.

훈련 데이터의 차원을 줄이면 또 하나 얻을 수 있는 장점은 시각화이다. 3개 이하로 차원을 줄이면 화면에 출력하기 비교적 쉽다. fruitspca 데이터는 2개의 특성이 있기 때문에 2차원으로 표현할 수 있다. 앞에서 찾은 km.labels 를 사용해 클러스터별로 나누어 산점도를 그려보자.

In [29]:

for label in range(0, 3):
    data = fruits_pca[km.labels_ == label]
    plt.scatter(data[:,0], data[:,1])
plt.legend(['pineapple', 'banana', 'apple'])
plt.show()

각 클러스터의 산점도가 아주 잘 구분된다. 2개의 특성만을 사용했는데 교차 검증 점수가 99%가 나온 이유를 알 수 있다.

출처 : 혼자 공부하는 머신러닝 + 딥러닝